Pourquoi Pi est-il irrationnel et transcendant ?

Le nombre π est irrationnel parce qu'il ne peut être égal au quotient de deux nombres entiers. Il est aussi transcendant, ce qui signifie qu'il n'est la solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers. Ces deux propriétés sont démontrées. Elles expliquent ses décimales infinies non périodiques et l'impossibilité de réaliser exactement la quadrature du cercle à la règle et au compas.

Le 14 mars offre un repère symbolique pour la Journée de Pi et des mathématiques, mais les propriétés de π ne dépendent évidemment ni d'une date ni de son écriture décimale.

Définition exacte, décimales et approximations

Dans la géométrie euclidienne, π désigne le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Cette définition est exacte. Dire que π vaut environ 3,14159 ne le définit pas entièrement: cela donne seulement une approximation décimale utile.

Il faut donc distinguer quatre notions:

• π est un nombre exact, indépendamment de la manière dont on l'écrit.
• 3,14 est une approximation de π au centième.
• 22/7 est une approximation rationnelle, légèrement supérieure à π.
• 3,141592653589793... est le début de son développement décimal, les points indiquant que celui-ci continue sans fin.

Cette distinction entre valeur exacte et résultat arrondi est fondamentale dans la mesure scientifique, thème également mis en lumière par la Journée mondiale de la métrologie. Une calculatrice n'affiche qu'un nombre limité de chiffres, mais cette limite appartient à l'outil, pas à π.

Pourquoi π est-il irrationnel ?

Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme a/b, où a et b sont des entiers et b n'est pas nul. Les nombres 1/2, -7/3 et 5 sont rationnels. Leur écriture décimale est soit finie, comme 0,5, soit périodique, comme 1/3 = 0,333...

L'irrationalité de π signifie qu'aucune fraction d'entiers n'est exactement égale à π. Des fractions peuvent s'en approcher de très près, mais il subsiste toujours un écart. Ainsi, 22/7 est pratique pour certains calculs élémentaires, sans devenir pour autant une identité.

Une infinité de décimales ne suffit pas à rendre un nombre irrationnel: c'est l'absence de répétition périodique qui compte.

Par exemple, 0,121212... possède une infinité de décimales, mais la séquence 12 se répète. Ce nombre est rationnel. À l'inverse, puisque l'irrationalité de π est démontrée, son développement dans toute base entière usuelle ne peut ni s'arrêter ni devenir périodique.

La démonstration complète de cette propriété demande des outils dépassant une simple observation des chiffres. Examiner des milliards de décimales ne pourrait d'ailleurs jamais prouver à lui seul l'absence de période jusqu'à l'infini. Cette différence entre observation, conjecture et preuve est centrale dans l'enseignement des sciences, notamment lors de la Journée internationale de l'éducation et de la Journée mondiale des enseignants.

Que signifie la transcendance de π ?

La transcendance est une propriété plus forte que l'irrationalité. Un nombre est algébrique s'il annule au moins un polynôme non nul à coefficients entiers. Par exemple, √2 est irrationnel, mais il est algébrique car il vérifie l'équation x² - 2 = 0.

Un nombre transcendant n'est solution d'aucune équation de ce type, quel que soit le degré du polynôme. La transcendance de π a été démontrée par Ferdinand von Lindemann en 1882. Il en résulte immédiatement que π est irrationnel: tout nombre rationnel est algébrique, puisqu'une fraction a/b vérifie l'équation bx - a = 0.

1. Les nombres rationnels forment une partie des nombres algébriques.
2. Certains irrationnels, comme √2, restent algébriques.
3. Les nombres transcendants ne sont pas algébriques.
4. π étant transcendant, il est nécessairement irrationnel.

Cette hiérarchie illustre la portée d'une preuve mathématique: elle établit une propriété universelle plutôt qu'une régularité seulement observée. Cette culture de la démonstration participe pleinement à la place de la recherche célébrée par la Journée mondiale de la science au service de la paix et du développement et à la visibilité des parcours scientifiques portée par la Journée internationale des femmes et des filles de science.

Pourquoi la quadrature du cercle est-elle impossible ?

La quadrature du cercle consiste à construire, uniquement avec une règle non graduée et un compas, un carré ayant exactement la même aire qu'un cercle donné. Pour un cercle de rayon 1, l'aire vaut π. Le carré recherché devrait donc avoir un côté de longueur √π.

Or les longueurs constructibles à la règle et au compas sont des nombres algébriques d'une catégorie particulière. Si √π était algébrique, son carré π le serait aussi. Comme π est transcendant, √π est transcendant et ne peut pas être une longueur constructible. La quadrature exacte est donc impossible sous ces règles classiques.

Cette impossibilité ne concerne pas le dessin d'un carré dont l'aire est très proche de celle du cercle. Une approximation peut être aussi précise que nécessaire pour un usage concret. Elle ne devient simplement jamais une construction exacte. Le même écart entre modèle idéal et précision instrumentale se rencontre dans l'observation scientifique, par exemple dans les sujets associés à la Journée mondiale des Astéroïdes.

Ce que les décimales de π ne permettent pas encore d'affirmer

Les chiffres calculés de π semblent présenter une répartition sans motif simple. Il ne faut toutefois pas transformer cette apparence en théorème. L'irrationalité garantit seulement que les décimales ne finissent pas et ne deviennent pas périodiques.

• Il n'est pas démontré que chaque chiffre de 0 à 9 apparaît avec la même fréquence asymptotique dans l'écriture décimale de π.
• Il n'est pas démontré que π est normal en base 10, c'est-à-dire que chaque bloc fini de chiffres apparaît avec la fréquence attendue.
• Une longue suite apparemment aléatoire ne prouve pas que les chiffres sont produits par un phénomène aléatoire.
• Trouver une date, un mot codé ou une séquence remarquable parmi les décimales ne révèle aucune intention cachée.

Il faut donc séparer les faits établis des affirmations ouvertes: π est exactement défini, son irrationalité et sa transcendance sont prouvées, tandis que plusieurs propriétés statistiques de ses chiffres restent inconnues.